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拍卖与机制设计

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拍卖

出售物品的方式：

  • 公布价格（posted pricing）：指以在菜单/货架等上标明的固定价格出售物品的方式；
  • 拍卖（auction）：指以买方出价、卖方出价或买卖双方互相出价决定最终物品的出售对象以及出售价格的方式，其中的出价称为投标（bid）.

常见的拍卖形式：

拍卖师（auctioneer）从一个比较低的价格开始，只要还有至少两个感兴趣的竞拍者，就以一个较小的增量逐渐提高价格，直到只剩下唯一一个竞拍者为止. 此时唯一的竞拍者赢得拍卖品并向拍卖师支付倒数第二个竞拍者退出时竞拍的价格.

拍卖师从一个足够高的价格开始（保证没有竞拍者感兴趣），然后逐渐降低价格，直到有竞拍者愿意接受价格为止. 此时该竞拍者赢得拍卖品并向拍卖师支付这个价格.

所有的竞拍者以密封形式提交竞价，无法看到其他竞拍者的出价，常见的有第一价格拍卖和第二价格拍卖.

拍卖形式分类

拍卖可以从三种规则的角度进行分类：

  • 投标规则：
    • 投标方：买家、卖家（反向拍卖）、买卖双方（双向拍卖）
    • 投标物品：单个物品（单物品拍卖）、多个物品（多物品拍卖）
    • 投标限制：低于某个价格无效（保留价格）
  • 交易规则：
    • 胜出方：哪些竞拍者可以获得物品
    • 交易费用：获得物品的竞拍者需要支付多少（一价拍卖、二价拍卖……）
    • 准入费用：没有获得物品的竞拍者是否需要支付（入场费）
  • 信息规则：投标时是否公开其他投标者的报价（公开拍卖、密封拍卖）

单物品密封拍卖

单物品密封拍卖可用不完全信息静态博弈来描述：

单物品密封拍卖

  • 参与者：所有买家 \(i\)
  • 策略：选择报价 \(b_i\)
  • 类型：买家对物品的估值 \(t_i\) 是私人信息
  • 先验分布：有关估值的先验分布是共同知识
  • 效用函数：
    • 卖家根据买家的报价 \(\mathbf{b}\) 决定博弈的结果 \((\mathbf{x}, \mathbf{p})\)
    • 分配规则 \(\mathbf{x}\)：\(x_i(\mathbf{b})\) 表示买家 \(i\) 在所有竞拍者投标为 \(\mathbf{b}\) 的情况下获得物品的概率
    • 支付规则 \(\mathbf{p}\)：\(p_i(\mathbf{b})\) 表示买家 \(i\) 在所有竞拍者投标为 \(\mathbf{b}\) 的情况下需要支付的价格

    • 效用函数的形式：

      \[ u_i = x_i(\mathbf{b}) t_i - p_i(\mathbf{b}). \]

机制设计

机制

机制

对于一个不完全信息博弈，一个机制是一个二元组 \((S, M)\)，其中 \(S = S_1 \times \ldots \times S_n\) 是所有参与人可选的纯策略集合，\(M\) 是一个将所有参与人的纯策略向量 \((s_1, \ldots, s_n) \in S\) 映射到结果集合 \(O\) 上的一个概率分布的一个映射.

如果一个机制是确定性的（deterministic），那么对于每个行动向量，机制 \(M\) 将其行动映射到一个确定的结果 \(o_i \in O\) 上.

直接显示机制

对于一个机制 \((S, M)\)，如果对每个参与人 \(i\) 都有 \(S_i = T_i\)，即每个参与人的行动就是显示自己的类型，则这一机制被称为直接显示机制（direct revelation mechanism）或直接机制（direct mechanism）.

激励相容

如果每个参与人如实报告自己的类型构成的行动向量 \(\mathbf{s} = (t_1, \ldots, t_n)\) 是博弈的均衡，则称这一机制是激励相容（incentive compatible）的，或者说是诚实的（truthful）.

如果 \(\mathbf{s}\) 是占优策略均衡，则称这一机制是占优策略激励相容（dominant-strategy incentive compatib, DSIC）的，如果 𝒔 是贝叶斯纳什均衡，则称这一机制是贝叶斯激励相容（Bayesian incentive compatib, BIC）的.

单物品密封价格拍卖中各个参与人的类型集合（估值）和行动集合（报价）是相同的，因而单物品密封价格拍卖是直接显示机制. 其中，二价拍卖中诚实报价是占优策略均衡，因而二价拍卖是占优策略激励相容的.

显示原理

给定任意一个机制及其占优策略均衡（或贝叶斯纳什均衡），都可以找到一个激励相容的直接机制，使得该机制均衡下的结果和原机制均衡下对应的结果一致.

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显示原理表明，我们可以通过在机制设计中替代参与人求解均衡，使得参与人只需要输入自己的真实类型便能得到和原机制均衡下相同的均衡. 因此我们需要考虑的机制空间可以缩小到激励相容的直接显示机制组成的机制空间.

拍卖机制激励相容的条件

迈尔森引理（Myerson's Lemma）：给出了拍卖机制激励相容（从报价到分配和支付的机制）的充要条件.

迈尔森引理

一个拍卖机制是 DSIC（占优策略激励相容）的，当且仅当其分配规则和支付规则 \((\mathbf{x}, \mathbf{p})\) 满足：

  • \(\mathbf{x}\) 是单调的，即 \(x_i(b_i)\) 是 \(b_i\) 的单调不减函数；

  • 给定 \(\mathbf{x}\) 的情况下，只要给定 \(p_i(0)\) 的值，对任意的 \(i \in N\) 和 \(b_i \in [0, +\infty)\)，\(\mathbf{p}\) 的表达式是唯一确定的：

    \[ p_i(b_i) = p_i(0) + b_i \cdot x_i(b_i) - \int_0^{b_i} x_i(s) \,\mathrm{d}s. \]

迈尔森引理告诉我们，要设计一个 DSIC 的拍卖机制，我们只需要设计分配规则即可，因为根据迈尔森引理可以直接通过分配规则得到 DSIC 情况下的唯一支付规则.

福利最大化机制设计

一般物品分配问题

假设有 \(n\) 个参与人，\(m\) 个不同的物品，物品集合为 \(S = \{S_1, S_2, \ldots, S_m\}\)，买家对 \(S\) 的任意自己都有不同的估值.

可能的分配结果集合 \(\Omega\) 包含将所有物品分配出去的所有可能结果，其中 \(\omega \in \Omega\) 表示一个合理的分配结果.

对于一般物品的分配问题，我们无法使用迈尔森引理，因为迈尔森引理中买家对物品的估值是一维变量可描述的. 我们需要采用 VCG 机制：

VCG 机制

假设所有竞拍者是诚实报价的，则

  • 福利最大化的分配规则：

    \[ \omega^* = \mathrm{argmax}_{\omega \in \Omega} \sum_{i=1}^n b_i(\omega). \]

  • 福利最大化 DSIC 机制的支付规则：

    \[ p_i(\mathbf{b}) = \sum_{j \neq i} b_j(\omega_{-i}^*) - \sum_{j \neq i} b_j(\omega^*). \]

VCG 机制的性质

  • VCG 机制是 DSIC 的
  • VCG 机制使得社会福利最大化
  • VCG 机制下，每个参与人的支付非负
  • VCG 机制满足事后个人理性

VCG 机制的缺陷

假设有 \(n\) 个竞拍者，\(m\) 个物品，则有效的分配结果有 \(n^m\) 种，在 \(m\) 和 \(n\) 较大时难以计算.

最优机制设计

最优机制：能使卖家的收益最大化的拍卖机制.