Image Processing¶

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Filter¶

滤波（Filter）是图像处理中常用的一种操作，它可以对图像进行模糊（Blur）、锐化（Sharpen）、边缘检测（Edge Detection）等处理。图像的滤波通常使用二维卷积来描述，例如：

均值滤波（Mean Filter）：对图像的每个像素点周围的像素点取平均值，得到的新像素点的值等于周围像素点的平均值。
高斯滤波（Gaussian Filter）：对图像的每个像素点周围的像素点取高斯分布的加权平均值，得到的新像素点的值等于周围像素点的加权平均值

高斯滤波通常需要对卷积核进行归一化处理，因为高斯分布的定义域是覆盖整个 \(\mathbb{R}^2\) 平面的。
中值滤波（Median Filter）：对图像的每个像素点周围的像素点的颜色值集合取中位数，作为新像素点的值。

以上三种滤波方法都可以对图像进行模糊处理。

锐化滤波（Sharpen Filter）：对图像进行锐化处理，可以使图像的边缘更加明显。

锐化滤波的常见实现是增强图像中的高频成分。设原始图像为 \(I\)，我们知道图像经过模糊处理后留下的是低频成分 \(\operatorname{blur}(I)\)，因而 \(I - \operatorname{blur}(I)\) 包含了图像的高频成分。因此，锐化后的图像可以表示为：

\[ \operatorname{sharp}(I) = I + \alpha(I - \operatorname{blur}(I)). \]
边缘检测：通过计算图像的梯度就可以实现对图像边缘的检测。

我们依然可以使用二维卷积来实现图像梯度的计算，例如：
- 垂直边缘检测：
  
  \[ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}. \]
- 水平边缘检测：
  
  \[ \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \]
可以发现，卷积核识别的图像形状与其本身的形状类似。
双向滤波（Bilateral Filter）：使图像内部模糊化，同时保证图像边缘不受影响。

在不同位置的卷积核不同，在图像较为平坦的区域，使用普通的高斯滤波进行模糊化，而在边缘处会只对边缘的一边进行高斯滤波

设 \((i,j)\) 是当前被卷积像素的坐标，即卷积核中心所处的位置坐标，\((k,l)\) 是被卷积核覆盖的某个像素点的坐标，则该点对应的卷积核的值为：

\[ w(i,j,k,l) = \exp \left( - \frac{(i-k)^2 + (j-l)^2}{2 \sigma_d^2} - \frac{\left\Vert f(i,j) - f(k,l) \right\Vert }{2 \sigma_r^2} \right). \]

在计算完毕后，同样需要对卷积核进行归一化处理。

Sampling¶

图像的分辨率：图像的像素尺寸与物理尺寸的比值，常用单位为 pixels/inch (ppi), pixels/cm (ppcm) 等。

图像的采样即改变图像的大小，可分为降采样（down-sampling）和升采样（up-sampling）两种。

图像的走样（aliasing）指由图像采样造成的图像失真，Aliasing 现象的根本原因是相比图像信号频率，采样频率太低了。