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Surface Codes

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\[ \newcommand{\braket}[1]{\left\langle {#1} \right\rangle} \newcommand{\ket}[1]{\left|{#1}\right\rangle} \newcommand{\bra}[1]{\left\langle {#1} \right|} \]

稳定子形式

量子态 \(\ket{\psi}\) 被一个算符 \(S\) 稳定，如果 \(S\ket{\psi} = \ket{\psi}\)，即 \(\ket{\psi}\) 位于 \(S\) 的不变子空间内。

设 \(G_n\) 为 \(n\) 量子比特上的泡利群，\(S\) 为 \(G_n\) 的一个子群，设被 \(S\) 中所有元素稳定的 \(n\) 量子比特状态的集合为 \(V_S\)，则称 \(S\) 是 \(V_S\) 的稳定子群。

\(S\) 可由群的生成元来表述：若 \(S\) 中任意元素 \(g\) 可被表述为一组元素 \(\langle g_1, g_2, \cdots, g_k \rangle\) 则称 \(\langle g_1, g_2, \cdots, g_k \rangle\) 为 \(S\) 的生成元。

\(V_S\) 是 \(S\) 中每个算子所稳定的子空间的交集，即 \(S\) 的所有生成元所稳定的子空间的交集。

稳定子形式下的酉演化

如果状态 \(\ket{\psi}\) 被 \(S\) 中任意元素 \(g\) 稳定，则

\[ U\ket{\psi} = Ug\ket{\psi} = U g U^\dagger U \ket{psi} \]

故 \(U g U^\dagger\) 稳定 \(\ket{\psi}\)，于是我们知道 \(V_S\) 中的任意量子态经过酉演化 \(U\) 后，其新的稳定子群为 \(\langle Ug_1 U^\dagger, Ug_2 U^\dagger, \cdots, Ug_k U^\dagger \rangle\)。

稳定子形式下的测量

假设 \(\ket{\psi} \in V_S\)，其中 \(S\) 是 \(V_S\) 的稳定子，我们使用算符 \(M\) 对 \(\ket{\psi}\) 进行投影测量（\(M\) 可被描述为泡利算符的成绩），则存在三种情况：

  • \(M \in S\)，则测量后稳定子群不会发生变化，测量结果为 1 或 -1

  • \(M \notin S\)，且 \(M\) 与 \(S\) 中任意元素对易，则新的稳定子群 \(S'\) 的生成元为 \(\langle M, g_1, g_2, \cdots, g_k, \pm M\rangle\)，测量结果为 1 或 -1 的概率各为 50%

  • \(M \notin S\)，且 \(M\) 与 \(S\) 中至少一个元素反对易，不妨设为 \(g_j\)，则我们按照以下顺序更新生成元集合：

    1. 移除 \(g_j\)
    2. 若还有其他与 \(M\) 反对易的生成元 \(g_p\)，则将 \(g_p\) 替换为 \(g_j g_p\)（\(g_j g_p\) 与 \(M\) 对易）
    3. 将 \(M\) 加入生成元集合

    测量结果为 1 或 -1 的概率各为 50%.

表面码

结构

pV1WrNj.png

上图展示了表面码中数据量子比特的基本布局，其中每个圆圈表示一个数据量子比特。给定一个长为 \(w\)，高为 \(h\) 的表面，可以构建 \(2wh + w + h\) 个数据量子比特，及对应数量的的独立稳定子.

pV1Ws4s.png

在顶点处放置 \(X\) 型校验量子比特，在面心放置 \(Z\) 型校验量子比特.

  • 若某个数据量子比特发生了比特翻转，则相邻的两个 \(Z\) 型校验量子比特的测量结果都会变为 -1.

  • 若某个数据量子比特发生了相位错误，则相邻的两个 \(X\) 型校验量子比特的测量结果都会变为 -1.

可能出现的复杂情况：

  • 可能出现长串错误

  • 测量可能出错

解决方法：延迟一段时间进行纠错，在这段时间中记录错误的校验比特的时空图，使用经典的匹配算法将翻转的校验比特的时空位置两两连接，使得总距离最短。

  • 平滑边界：由数据量子比特和 \(X\) 型校验量子比特组成的边界

  • 粗糙边界：由数据量子比特和 \(Z\) 型校验量子比特组成的边界

逻辑量子比特的表示

方法：通过关闭部分稳定子测量来制造自由度。

  • 单平滑缺陷逻辑量子比特：关闭某个面心的 \(Z\) 稳定子，这样的面被称为平滑缺陷。

    逻辑操作符：通过环绕平滑缺陷的任意 \(Z\) 算符环 \(Z_L\) 或任意与平滑边界相连的 \(X\) 算符链 \(X_L\)。

    pV1Wc3q.png

    pV1Wgg0.png

    不论缺陷面的大小多大，引入的自由度都只有 1。

    初始态：由于表面码在创建之初，其状态是所有 Z 稳定子的 +1 共同本征态，这自然也包括了环绕缺陷的 \(Z_L\) 算符，故初态为 \(\ket{0_L}\)。

  • 双平滑缺陷逻辑量子比特：由两个单平滑缺陷组成

    逻辑操作符：环绕其中任意一个平滑缺陷的任意 \(Z\) 算符环 \(Z_L\) 或任意连接这两个平滑缺陷的 \(X\) 算符链 \(X_L\)。

    pV1W2vV.md.png

    初始态：

    • \(\ket{0_L}\)：默认

    • \(\ket{+_L}\)：将一片区域的所有物理量子比特制备到 \(\ket{+_L}\) 态，然后通过测量该区域之外的 Z 稳定子来“雕刻”出两个光滑缺陷，这个过程中产生的随机负号稳定子同样被当作错误进行修正

  • 粗糙逻辑量子比特：关闭某个区域中的 \(X\) 稳定子

    逻辑操作符：环绕其中任意一个粗糙缺陷的任意 \(X\) 算符环 \(X_L\) 或任意连接这两个粗糙缺陷的 \(Z\) 算符链 \(Z_L\)。

    初始态：\(\ket{+_L}\)（\(X_L\) 的 +1 本征态）

逻辑量子比特的测量

  • \(Z_L\)：测量环上的数据量子比特的状态，若为 \(\ket{0}\) 或 \(\ket{1}\) 的个数为偶数，则结果为 \(\ket{0_L}\)，反之为 \(\ket{1_L}\)。

  • \(X_L\)：测量链上的数据量子比特的相位，若为 \(\ket{0}\) 或 \(\ket{1}\) 的个数为奇数，则结果为 \(\ket{0_L}\)，反之为 \(\ket{1_L}\)。

逻辑量子比特的逻辑门的实现

只需要保证实现的逻辑门对稳定子群的每个生成元的变换都与目标逻辑门相同即可。